Информация о подшипниках для снабжения производства - производители, стандарты производства, размеры и характеристики для механиков от PodshipnikRu
Домой Таблица Брадиса Таблица косинусов

Таблица косинусов

 Внимание покупателей подшипников

Уважаемые покупатели, отправляйте ваши вопросы и заявки по приобретению  подшипников и комплектующих на почту или звоните сейчас:
     +7(499)403 39 91  
       [email protected]
   
  Доставка подшипников  по РФ  и зарубежью.
  Каталог подшипников на сайте Podshipnik.info
 
 

Таблица косинусов — это удобное решение для проведения быстрых расчетов, когда нужно получить числовое значение косинуса того или иного угла. В статье мы узнаем, что такое косинус, чем похожи и как связаны таблица синусов и косинусов, как использовать таблицу синусов Брадиса для получения конкретных числовых значений косинуса того или иного угла.

Что такое косинус угла и как его применять в решении задач

Начнем с того, что каждый знает, что такое прямоугольный треугольник. Им называется такой треугольник, у которого один из углов (C) прямой (равен 90°), остальные два угла (𝛼 и 𝛽) острые. Он имеет стандартное обозначение углов и сторон. Тогда, что такое косинус угла, можно рассмотреть дальше.

Стандартный прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) - катеты, сторона с (AB) - гипотенуза
Прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) — катеты, сторона с (AB) — гипотенуза

Прямой угол всегда равен 90°, острый — всегда меньше, а тупой — больше 90°

Согласно теореме косинусов, что бы рассчитать угол α или β, нужно знать длину гипотенузы (АВ) и прилежащий к этому углу катет.

Косинус — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе:

  • cos α = b деленное на с;
  • cos β = а(BC)/с(AB) .

То есть, если вам нужно узнать, например, какой высоты делать крышу над домом, если известна ширина дома и угол наклона крыши, что бы снег не задерживался, то высоту конька рассчитать не составит труда, применяя теорему косинусов. Нужно помнить, что такие функции, как косинусы и синусы в формулах зависят от угла. Синус работает с противолежащей стороной, косинус с работает прилежащей.

C:\Users\Nataly\Desktop\Решение треугольников 4.jpg

Это тригонометрические формулы для вычисления углов в треугольнике через тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс


Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе

Если треугольник не прямоугольный, его параметры также можно рассчитать, используя теорему Евклида. Суть ее в том, что треугольник, лежащий на плоскости, и имеющий стороны а, b, с, а также углом α, который находится напротив стороны а, может быть рассчитан по следующей формуле:

а²= b²+с²-2²· b· cos α или:

Таблица косинусов - 1

Отсюда можем найти cos α, cos α =( b²+2²- а²) : 2bс.

Небольшое уточнение: если угол α менее 90°, тогда b²+2²- а² > 0, если α =90°, то b²+2²- а²=0, если α >90°,то есть угол тупой, то и b²+2²- а²< 0.

То же самые расчеты делаем для других углов треугольника:

  • с² = а² + b² — 2аb cosγ,
  • b² = а² + с² — 2ас cosβ.

Как рассчитать косинус угла без формул

Есть некоторые углы, рассчитать косинус которых можно без формул, применяя таблицу синусов и косинусов π. В ней расчет идет через число π, которое делится на целое число, в зависимости от размера угла, то есть sin 30° = π : 6 или 0,5, cos 30° = √3: 2. В такой таблице есть данные косинуса 30 градусов, косинуса 45 градусов, косинуса 60 градусов, косинуса 90 градусов, косинуса 120 градусов, косинус 180 градусов, косинус 270 градусов, косинус 360 градусов, косинус 0, а также аналогичные значения синусов.

Ниже приведена таблица косинусов, дополнительно указаны синусы в их числовом выражении.

Значение угла α (градусов) Значение угла α в радианах COS (косинус) 
Косинус 0 градусов01
Косинус 15 градусовπ/120.9659
Косинус 30 градусовπ/60.866
Косинус 45 градусовπ/40.7071
Косинус 50 градусов5π/180.6428
Косинус 60 градусовπ/30.5
Косинус 65 градусов13π/360.4226
Косинус 70 градусов7π/180.342
Косинус 75 градусов5π/120.2588
Косинус 90 градусовπ/20
Косинус 105 градусов 5π/12-0.2588
Косинус 120 градусов2π/3-0.5
Косинус 135 градусов3π/4-0.7071
Косинус 140 градусов7π/9-0.766
Косинус 150 градусов5π/6-0.866
Косинус 180 градусовπ-1
Косинус 270 градусов3π/20
Косинус 360 градусов1

Калькулятор расчета косинуса онлайн

Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Пример 1: Для примера решим следующую задачу. Берем прямоугольный треугольник, у него нужно найти оба угла, но известны гипотенуза с = 12 см, сторона b = 9,2 см. По теореме косинусов C:\Users\Nataly\Desktop\Решение треугольников 4.jpgcos α = b : с, cos α = 9,2: 12 = 0, 7667. Далее открываем таблицу Брадиса и научимся, как ею пользоваться для нахождения косинуса угла. С левой стороны таблицы мы напротив косинусов находим ближайшее значение 0, 7672, которое соответствует 39°, поднимаем линию до значения минут и находим 54′.

Но наше значение меньше табличного на 0,0006, что становит 3′. Тогда мы вычитаем эту поправку 3′, 39°54′ — 3′ = 39°51′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов в треугольнике не должна превышать 180°. Поэтому 180° — (90° + 39°51′) = 50° 09′. Угол β = 50° 09′. Решаем задачу дальше. Ищем сторону а. Для этого мы можем использовать два способа.

  1. по формуле а²= b²+с²-2²· b· cos α находим сторону а;
  2. по формуле cos β=sinα = а: с, а = с · cos β.

Второй вариант немного проще в вычислении. Обращаемся к таблице Брадиса снова. У нас ближайшее значение 50° 06′ = 0,6414. Поправка на 3′ составляет 0, 0007. Тогда 0, 6414 + 0,0007 = 0,6421.

По условию с = 12 см, тогда а = 12 · 0,6421 = 7,7 см. Задача решена. Если значения углов простые, таблица косинусов и синусов может упростить вычисление. Можно использовать следующие тождества: sin (90°+15°) = cos 15°= cos (90°-75°) = sin 75° Функции повторяются, только нужно учитывать знак. Если нужно найти косинус 145 градусов, находим угол до 90 градусов. 180 °– 145° = 35°. Косинус 35 градусов будет 0,8192 по таблице, если это 145°, это будет значение с отрицательным значением -0,8192.

Пример 2: Рассмотрим треугольник с произвольными углами, ни один из которых не равен 90°. Мы имеем две стороны с =12 см, b = 8,2 см, а также угол α, который равен 31°12′. Найти третью сторону. Формула, которая применялась в предыдущей задаче, не подходит, так как у нас треугольник не прямоугольный (по крайней мере мы это ещё не рассчитали). Используем формулу из теоремы косинусов:

а² = b²+с²-2²· b· cos α. Косинус угла находим на пересечении угла 31° и 12′. Он равен числу 0,8554, которое мы и подставляем в формулу.

а² = 67, 24 + 144 -4 · 8,2 · 0,8554 = 211,24 — 28,07 = 183,17. Находим а = √183,17 = 13, 54 (см)

Если будет стоять задание найти ещё и углы треугольника, используем формулу:

с² = а² + b² — 2аb cos γ, отсюда cos γ = (b² + а² — с²): 2 bс. cos γ = (8,2² + 13,54² — 12²): 2· 8,2·12 = (64,24 + 183, 17 – 144): 196,8 = 0, 5255. Открываем таблицу Брадиса. Это число соответствует 58° 18′. Согласно теореме о правилах трёх углов в треугольнике находим третий угол:

180° — 58° 18′-31°12′ =89° 30′. Задача решена!

Можно не рассчитывать самому, а использовать сервис и высчитать косинус онлайн, когда регистрируешься на сайте, и любое вычисление приходит автоматически. Минус такого сервиса, его нельзя применять на экзамене по математике. В качестве справочного материала таблицы предоставляются. Естественно, надо хорошо уметь ими пользоваться, так как на экзамен отводится ограниченное количество времени.

COS0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'1'2'3' 
COS60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'1'2'3'
90°0.0000
89°0.00001735527087105122140157175369
88°175192209227244262279297314332349369
87°349366384401419436454471488506523369
86°523541558576593610628645663680698369
85°6987157327507677858028198378540.0872369
84°0.0872889906924941958976993101110281045369
83°10451063108010971115113211491167118412011219369
82°12191236125312711288130513231340135713741392369
81°13921409142614441461147814951513153015471564369
80°15641582159916161633165016681685170217190.1736369
79°0.17361754177117881805182218401857187418911908369
78°19081925194219591977199420112028204520622079369
77°20792096211321302147216421812198221522332250369
76°22502267228423002317233423512368238524022419368
75°24192436245324702487250425212538255425710.2588368
74°0.25882605262226392656267226892706272327402756368
73°27562773279028072823284028572874289029072924368
72°29422940295729742990300730243040305730743090368
71°30903107312331403156317331903206322332393256368
70°32563272328933053322333833553371338734040.3420358
69°0.34203437345334693486350235183535355135673584358
68°35843600361636333649366536813697371437303746358
67°37463762377837953811382738433859387538913907358
66°30973923393939553971398740034019403540514067358
65°40674083409941154131414741634179419542100.4226358
64°0.42264242425842744289430543214337435243684384358
63°43844399441544314446446244784493450945244540358
62°45404555457145864602461746334648466446794695358
61°46954710472647414756477247874802481848334848358
60°48484863487948944909492449394955497049850.5000358
59°0.50005015503050455060507550905105512051355150358
58°51505165518051955210522552405255527052845299257
57°52995314532953445358537353885402541754325446257
56°54465461547654905505551955345548556355775592257
55°55925606562156355650566456785693570757210.5736257
54°0.57365750576457795793580758215835585058640.5878257
53°58785892590659205934594859625976599060046018257
52°60186032604660606074608861016115612961436157257
51°61576170618461986211622562396252626662806293257
50°62936307632063346347636163746388640164140.6428247
49°0.64286441645564686481649465086521653465476561247
48°65616574658766006613662666396652666566786691247
47°66916704671767306743675667696782679468076820246
46°68206833684568586871688468968909692169346947246
45°69476959697269846997700970227034704670590.7071246
44°0.70717083709671087120713371457157716971817193246
43°71937206721872307242725472667278729073027314246
42°73147325733773497361737373857396740874207431246
41°74317443745574667478749075017513752475367547246
40°75477559757075817593760476157627763876490.7660246
39°0.76607672768376947705771677277738774977607771246
38°77717782779378047815782678377848785978697880245
37°78807891790279127923793479447955796579767986245
36°79867997800780188028803980498059807080808090235
35°80908100811181218131814181518161817181810.8192235
34°0.81928202821182218231824182518261827182818290235
33°82908300831083208329833983488358836883778387235
32°83878396840684158425843484438453846284718480235
31°84808490849985088517852685368545855485638572235
30°85728581859085998607861686258634864386520.8660134
29°0.86608669867886868695870487128721872987388746134
28°87468755876387718780878887968805881388218829134
27°88298838884688548862887088788886889489028910134
26°89108918892689348942894989578965897389808988134
25°89888996900390119018902690339041904890560.9063134
24°0.90639070907890859092910091079114912191289135124
23°91359143915091579164917191789184919191989205123
22°92059212921992259232923992459252925992569272123
21°92729278928592919298930493119317932393309336123
20°93369342934893549361936793739379938393910.9397123
19°93979403940994159421942694329438944494490.9455123
18°94559461946694729478948394899494950095059511123
17°95119516952195279532953795429548955395589563123
16°95639568957395789583958895939598960396089613122
15°96139617962296279632963696419646965096550.9659122
14°96599664966896739677968196869690969496999703112
13°97039707971197159720972497289732973697409744112
12°97449748975197559759976397679770977497789781112
11°97819785978997929796979998039806981098139816112
10°98169820982398269829983398369839984298450.9848112
0.98489851985498579860986398669869987198749877011
98779880988298859888989098939895989899009903011
99039905990799109912991499179919992199239925011
99259928993099329934993699389940994299439945011
99459947994999519952995499569957995999609962011
99629963996599669968996999719972997399749976001
99769977997899799980998199829983998499859986000
99869987998899899990999099919992999399939994000
99949995999599969996999799979997999899980.9998000
999899999999999999991.00001.00001.00001.00001.00001.0000000
1.0000

Таблица косинусов - 2

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here

Полезное

Таблица косинусов

Таблица косинусов - это удобное решение для проведения быстрых расчетов, когда нужно получить числовое значение косинуса того или иного угла. В статье мы узнаем, что такое косинус, чем похожи и как связаны таблица синусов и косинусов, как использовать таблицу синусов Брадиса для получения конкретных числовых значений косинуса того или иного угла.

ЧИТАТЬ ОБЯЗАТЕЛЬНО